In dit geval heeft men een aantal lineaire vergelijkingen, met evenveel variabelen. De vraag is bij welke verzameling waarden alle vergelijkingen in het stelsel tegelijk waar zijn.
- Methode van substitutie: Los de eenvoudigste van de vergelijkingen op. Substitueer de oplossing in de andere vergelijking.
- Methode van eliminatie: Vermenigvuldig elke vergelijking met een handige factor en tel de vergelijkingen dan op (of trek ze af), zodat één van de variabelen verdwijnt.
Beide methoden kunnen in principe altijd gebruikt worden. Substitutie is aan te raden als één van de vergelijkingen vrij eenvoudig is.
Voorbeeld 1, met substitutie.
Los op: $\left\{\begin{matrix} 6x \; -8y = 18 \\ x + y = 10 \end{matrix}\right.$.
- De tweede vergelijking is eenvoudig van vorm. We lossen y hieruit op: $y = 10 \; – x$.
- Nu substitueren we dit in de eerste vergelijking:
$$\begin{align}
6x \; – 8 (10 \; – x) & = 18 \\
14 \; – 80 & = 18 \\
x & = 7
\end{align}$$
- Tenslotte: $y = 10 \; – 7 = 3$.
Voorbeeld 2, met substitutie.
Los op: $\left\{\begin{matrix} x \; -7y = \; -5 \\ 2x + y + 8z = 7 \\ 10y + 3z = 2 \end{matrix}\right.$
- Gebruik de eerste en laatste vergelijking om x en z uit te drukken in y:
$$\begin{align}
x \; – 7y & = \; -5 & 10y + 3z & = 2 \\
x & = 7y \; – 5 & 3z & = 2 \; – 10 y \\
&& z & = \frac{2 \; – 10 y} 3
\end{align}$$ - Substitueer dit in de tweede vergelijking:
$$\begin{align}
2(7y \; – 5) + y + 8\cdot \frac{2 \; – 10 y} 3 & = 7 \\
42 y \; – 30 + 3y + 16 \; – 80 y & = 21 && \text{haakjes uitgewerkt en}\ \times 3 \\
– 35 y & = 35 && \text{gelijksoortige termen gecombineerd}
\end{align}$$ - Hieruit volgt y = –1.
- Tenslotte:
$$x = 7\cdot(-1) \; -5 = -12; \ \ \ \ \ z = \frac{2 \; -10\cdot(-1)} 3 = 4.$$
Voorbeeld 3, met eliminatie.
Los op: $\left\{\begin{matrix} 6x – 5y = 40 \\ 5x + 2y = 21 \end{matrix}\right.$
Vermenigvuldig de onderste vergelijking met 6 en de bovenste vergelijking met 5. Hierdoor worden de coëfficiënten van x gelijk. Trek de vergelijkingen dan van elkaar af. Zo wordt x geëlimineerd van de vergelijking.
$$\begin{align}
6x \; – 5y & = 40 && \overset{\times 5}{\longrightarrow} & 30 x \; – 25 y & = 200 \\
5x + 2y & = 21 && \overset{\times 6}{\longrightarrow} & 30 x + 12y & = 126 \\
& && & -37 y & = 74 \ \ \ \text{(vgl. afgetrokken)} \\
& && & y & = \; -2
\end{align}$$
Op soortgelijke wijze elimineert men y om x te vinden:
$$\begin{align}
6x \; – 5y & = 40 && \overset{\times 2}{\longrightarrow} & 12 x \; – 10 y & = 80 \\
5x + 2y & = 21 && \overset{\times 5}{\longrightarrow} & 25 x + 10y & = 105 \\
& && & 37 x & = 185 \ \ \ \text{(vgl. opgeteld)} \\
& && & x & = \; 5
\end{align}$$
