De functies sin, cos en tan hebben allerlei symmetrieën en onderlinge verbanden. Deze komen van pas bij het vereenvoudigen van uitdrukken en het oplossen van vergelijkingen.
- Past men de stelling van Pythagoras toe op de eenheidscirkel, dan vindt men
- De tangens kan worden uitgedrukt in sinus en cosinus:
$$(\sin{x})^2 + (\cos{x})^2 = 1. \text{(Men schrijft ook wel}: \sin^2 x + \cos^2 x = 1.)$$ $$\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$$
- Symmetrieën: Uit bovenstaande discussie kan men afleiden hoe spiegelingen de trigonometrische functies beïnvloeden. Bijvoorbeeld: sin (–x) = –sin x, cos (–x) = cos x, enz.
- Het complement van een hoek x is gelijk aan 90˚–x. Dit komt overeen met het verwisselen van aanliggende en overstaande rechthoekszijden, of van de x– en y-as in de eenheidscirkel. Men vindt de volgende symmetrieën:
- De somformules beschrijven hoe het optellen of aftrekken van hoeken de trigonometrische verhouding beïnvloedt:
- Hieruit volgen de verdubbelingsformules:
$$\sin{(90^\circ – x)} = \cos{x}, \;\;\;\;\; \cos{(90^\circ – x)} = \sin{x}, \;\;\;\;\; \tan{(90^\circ – x)} = \cot {x} = \frac{1}{tan}$$ $$\sin{(x \pm y)} = \sin {x} \cos {x} \pm \cos{x} \sin{y}$$ $$\cos{(x \pm y)} = \cos{x} \cos{y} \pm \sin{x}\sin{y}$$ $$\tan{(x \pm y)} = \frac{\tan{x} \pm \tan {y}}{1 \mp \tan{x} \tan {y}}$$ $$\sin{2x} = 2 \cos{x}\sin{x} \;\;\;\; \cos{2x} = \left\{\begin{matrix} 2 \cos^2 x – 1\\ \cos^2 x – \sin^2 x\\ 1 – 2 \sin^2 x \end{matrix}\right.$$
Van een hoek in kwadrant IV is bekend dat $\sin \alpha = – \frac{7}{25}$. Bepaal cos α en tan α.
Omdat de hoek in kwadrant IV ligt is cos α positief en tan α negatief.
Uit sin2α + cos2α = 1 volgt <$\cos \alpha = \sqrt{1 – (\frac{7}{25})^2} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}.$
Dus is $\tan{\alpha} = \sin \alpha / \cos \alpha = \frac{-7/25}{24/25} = – \frac{7}{24}.$
