Wij bespreken hier geen methode om alle mogelijke veeltermvergelijkingen op te lossen; dat kan zeer ingewikkeld zijn. De volgende suggesties zijn van toepassing in bijzondere gevallen.
- Wanneer de ontbinding van een veelterm bekend is, gebruikt men de regel dat als een product gelijk is aan nul, moet op z’n minst een van de factoren gelijk zijn aan nul:
$$A \cdot B = 0 \Rightarrow A = 0 \; \text{of} \; B = 0.$$
Voorbeeld: Los op: $(x-2)\cdot (x^3 + 27) =0$.
$$\begin{align}
x \; – 2 & = 0 && \text{of} & x^3 + 27 & = 0 && \text{een van de factoren is nul} \\
x & = 2 && \text{of} & \sqrt[3]{-27} & = \; -3
\end{align}$$
Voorbeeld: Los op: $(x-3)\cdot(2x+5)\cdot(x+1)^2 = 0$.
$$\begin{align}
x \; – 3 & = 0 && \text{of} & 2x + 5 & = 0 && \text{of} & x+1 &= 0 \\
x & = 3 && & x & = \; -2\frac 12 && & x & = \; -1
\end{align}$$
- Als een nulpunt bekend is, kan er een lineaire factor uitgedeeld worden.
Voorbeeld: Een van de oplossingen van 2x3 + x2 – 71x + 140 = 0 is x = 2½. Bepaal de andere twee oplossingen.
In principe kunnen we nu een factor x – 2½ uitdelen. Voorkom breuken door 2x – 5 te gebruiken (uitleg over delen van veeltermen: zie paragraaf 34.3.1) :
$$\frac{2x^3 \; – x^2 \; – 71x + 140}{2x \; – 5} = x^2 + 3x \; – 28.$$
Hiervan vinden we nu de nulpunten:
$$\begin{align}
&& x^2 + 3x \; – 28 &= 0 \\
&& (x + 7)(x \; – 4) &= 0 \\
x & = \; – 7 && \text{of} & x & = 4
\end{align}$$
- Als er geen constante term in de vergelijking voortkomt, kan men een macht van x uitdelen.
Voorbeeld: Los op: x4 – 5x3 – 36x2 = 0.
$$\begin{align}
(x^2 \; – 5x \; – 36) \cdot x^2 & = 0 && && && x^2\ \text{uitgedeeld} \\
x^2 \; – 5x \; – 36 & = 0 && \text{of} & x^2 & = 0 \\
(x \; – 9) (x + 4) & = 0 && \text{of} & x & = 0 && \text{ontbonden in factoren} \\
x = 9\ \text{of} & \ x = \; -4 && \text{of} & x & = 0
\end{align}$$
- Als alleen even machten voorkomen, kan men x2 vervangen door een nieuwe variabele u, en die eerst oplossen.
Voorbeeld: Los op: x4 + 2x2 – 35 = 0.
$$\begin{align}
u^2 + 2u \; – 35 & = 0 && x^2 = u \\
(u + 7)(u \; – 5) & = 0 \\
u = \; -7\ \text{of} & \ u = 5 \\
x^2 = \; -7\ \text{of} & \ x^2 = 5 \\
\text{geen opl. of} & \ x = \pm \sqrt 5
\end{align}$$
