Als gevraagd wordt de limiet van een wiskundige uitdrukking te berekenen, begint men met de limietwaarde gewoon in te vullen. Dit mag zolang de bewerkingen en functies continu zijn, en geen moeilijkheden opleveren:
Als een of meer limietwaarden oneindig groot of klein worden, kunnen de volgende regels helpen. (a staat voor een willekeurig gewoon getal):
∞ ± a = ∞ ∞ × a = ∞ (als a > 0)
–∞ ± a = –∞ ∞ × a = –∞ (als a < 0)
∞ + ∞ = ∞ a / ∞ = 0 (als a ≠ 0)
Echter, in gevallen als ∞ – ∞, ∞×0, 0/0, ∞/∞ kan men niet zomaar de uitkomst bepalen; het hangt er maar net vanaf “hoe snel” de uitdrukkingen naar oneindig of nul gaan. De volgende vuistregels kunnen helpen:
- hogere machten “winnen” van kleinere machten
- exponentiële functies (bx) “winnen” van machtsfuncties (xn)
- machtsfuncties “winnen” van logaritmen.
$\underset{x \downarrow 4}{\lim} \frac{3}{x-4} = + \infty \;\;\; \text{en} \;\;\; \underset{x \uparrow 4}{\lim} \frac{3}{x-4} = – \infty$.
De notaties $x \downarrow 4$ betekent dat we de limiet van bovenaf benaderen, en $x \uparrow 4$ dat we de limiet van onderen benaderen. In het eerste geval gaat de noemer naar nul maar blijft positief; de uitkomst wordt dus steeds groter $(+\infty)$. In het tweede geval gaat de noemer naar nul maar blijft negatief; de uitkomst wordt dus steeds sterker negatief $(- \infty)$.
$\underset{x \rightarrow 3}{\lim} \frac{e^x}{(x-3)^2} =\frac{e^3}{“+0”} = + \infty $.
Met “+0” wordt hier bedoeld dat als de noemer naar nul nadert, hij positief blijft. Het delen van een gewoon getal ongelijk aan nul (hier: e3) door een dergelijke noemer levert willekeurig hoge waarden op; de limiet is dus +∞.
$\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} (x^5 – 100 \cdot x^4) = (- \infty) – (+\infty)=-\infty$
Bedenk dat even machten van negatieve getallen positief zijn, en oneven machten zijn negatief. Dit levert de –∞ en +∞ voor de afzonderlijke termen.
$\underset{x \rightarrow + \infty}{\lim} (x^5 – 100 \cdot x^4) = (+ \infty) – (+\infty)= ??$
Nu zijn beide termen positief. De aftrekking ∞ – ∞ heeft geen eenduidige uitkomst; het hangt af van hoe sterk de machten naar oneindig gaan. Echter, de vijfde macht “wint” van de vierde macht. Dus is deze limiet gelijk aan +∞.
$\underset{x \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x^{10}}{e^x} = \frac{\infty}{\infty} = ??$
In dit geval gebruikt men de vuistregel dat een exponentiële functie “wint” van de machtsfunctie: de oneindigheid in de noemer is “sterker” dan die in de teller, en de limiet is derhalve gelijk aan 0.
$\underset{x \downarrow 0}{\lim} x ^{10} \cdot \ln{x} = 0 \cdot -\infty = ??.$
Omdat machten het “winnen” van logaritmen is de nul in de eerste factor “sterker” dan de oneindigheid van de tweede factor. De limiet is dus nul.
Voor de volledigheid noemen we de volgende limieten:
$$\underset{x \rightarrow \infty}{\lim} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a \;\;\; \underset{ x \rightarrow 0}{\lim}\frac{a^x -1}{x} = \ln{a} \;\;\; \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin{x}}{x} = 1 (x \; \text{in radialen}).$$
