39.3.3 Optimalisatieproblemen

Wanneer een continue functie een (relatief) minimum of maximum heeft in het midden van haar domein, is de afgeleide daar nul. Dit wordt gebruikt in optimalisatievraagstukken.

Let op: soms is de afgeleide nul zonder dat er een minimum of maximum optreedt. Ook kan een minimum of maximum voorkomen aan de randen van het domein.

Een marktman verkoopt kettinkjes, die hij voor € 0,50 per stuk inkoopt. Uit onderzoek weet hij dat het aantal kettinkjes (N) die hij per week verkoopt, afhangt van de vraagprijs p volgens de functie N = 700 – 200 p. Bij welke vraagprijs maakt de marktman maximaal winst?

De winst die hij maakt per kettinkje is p – 0,50, en dus is
totale winst W(p) = N(p – 0,50)
= (500 ­– 200 p)(p – 0,50) = –200p2 + 600p  250. Om het maximum van $W(p) = – 200p^2 + 600p -250$ te vinden, zetten wij de afgeleide gelijk aan nul:

$W'(p) = 0$

$-400 p + 600 = 0$

p = € 1,50.
Bij dit bedrag worden N = 400 kettinkjes per week verkocht, voor een totale winst van € 400,-.

Na het innemen van een pil op tijdstip t = 0 wordt de concentratie van een medicijn in het bloed van een patiënt beschreven door de functie $$C(t) = 4t^2e^{-\frac{t}{3}}$$

 Wat is de maximale concentratie van dit medicijn, en wanneer wordt deze bereikt?

Zet de afgeleide gelijk aan nul. Let op het gebruik van de productregel!

$C'(t) = o$

$4(2t-\frac{1}{3}t^2)e^{-\frac{t}{3}} = 0$;         (de e-macht kan niet nul worden)

$t=6$ Dus wordt het maximum na zes uur bereikt, met $C(6) = 4 \cdot 6^2 \cdot e^{-\frac{6}{3}}= \frac{144}{e^2} \approx 19,5.$