Processing math: 100%

40.1.3 Asymptoten

Een asymptoot is een lijn waar de grafiek van f steeds dichterbij komt, zonder deze echt te raken. Dit houdt verband met limieten.

  • Een verticale asymptoot treedt op bij een “gat” in het domein als de limietwaarde gelijk is aan +∞ of –∞.

De functie

f(x) = \frac{12}{x^2-4}

heeft twee “gaten”, namelijk als x = –2 en als x = 2. Uit de grafiek ziet men dat voor deze waarden verticale asymptoten optreden. Dit komt overeen met de volgende limieten:

\lim_{x\uparrow-2}f(x) = + \infty, \;\;\;\; \lim_{x\downarrow -2} f(x) = – \infty, \lim_{x\uparrow 2} f(x) = – \infty \;\;\;\; \lim_{x \downarrow2} f(x) = + \infty

  • Een horizontale asymptoot treedt op als de limieten voor x\rightarrow + \infty of - \infty  een eindige waarde hebben.

De functie

f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}

heeft als limiet , \lim_{x \rightarrow + \infty zoals men in de tabel kan zien.

Dus is de lijn y = 1 een horizontale asymptoot.

  • Een schuine asymptoot treedt op als een functie in de limiet < x \rightarrow +\infty of -\infty steeds dichter een lineaire functie benadert.

De functie f(x) = \frac{x^2 – 3x + 1}{x}$

heeft de lijn y = x – 3 als schuine asymptoot .

Voor verdere details, zie de bespreking van rationele functies in paragraaf 40.4.