Een variatie bestaat uit k elementen, waarvan elk element gekozen wordt uit n mogelijkheden. De volgorde is hierbij van belang. Wij zullen er nu eerst van uitgaan dat dezelfde keuze meermalen mag voorkomen.
Het aantal van deze variaties is $$\text{vari-herh}(n,k) = n^k$$
Wat is de kans dat men een viercijferige PIN-code in tien keer raadt?
Voor elk van de vier cijfers zijn er 10 mogelijkheden. Derhalve zijn er:
$\text{vari-herh}(10, 4) = 10^4 = 10 000$
verschillende PIN-codes. Daarbij zijn er PIN-codes zonder herhaling, zoals 2736 en 1894; en PINcodes met herhaling, zoals 1338 en 0050. We nemen aan (onrealistisch?!) dat alle PIN-codes even waarschijnlijk zijn. De kans dat een PIN-code zich onder mijn tien pogingen bevindt is
$P(\text{geraden}) = \frac{10}{10 000} = \frac{1}{1000} = 0,10$$
Sommige telproblemen kunnen worden vereenvoudigd door naar het complement te kijken: of wel, tel hoeveel van de mogelijkheden juist niet aan een bepaalde voorwaarde voldoen.
Wat is de kans dat een viercijferige PIN-code tenminste één 7 bevat?
Een eerste poging zou kunnen zijn: er zijn 1000 PIN-codes die met 7 beginnen, 1000 PIN-codes die
7 op de tweede plaats hebben staan, enz. Op deze manier telt men 4000 PIN-codes met een 7, maar
dat getal is te hoog. Dit komt doordat bijvoorbeeld 7723 nu tweemaal geteld is, en 7777 wel
viermaal.
Het alternatief: tel hoeveel PIN-codes juist geen 7 bevatten. Ofwel, ze bestaan uit vier cijfers
gekozen uit de negen mogelijke cijfers { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 }. Het aantal PIN-codes zonder 7 is
$\text{vari-herh}(9,4) = 9^4 = 6561$
Er zijn dus 10 000 – 6561 = 3439 PIN-codes met tenminste één 7. De kans is daarom 34,39%.
