Optellen (+) van twee of meer getallen (termen)
- de uitkomst heet de som
- de volgorde maakt geen verschil: $x+y = y+x$ (commutatieve eigenschap)
- plaatsing van haakjes maakt geen verschil: $x + (y+z) = (x+y) + z$ (associatieve eigenschap)
- nul optellen heeft geen effect: $x+0 = x$
Aftrekken (–) van twee getallen
- de uitkomst heet het verschil
- de volgorde maakt verschil: 25 – 14 = 11 maar 14 – 25 = –11
- plaatsing van haakjes maakt verschil: 13 – (8 – 5) = 10 maar (13 – 8) – 5 = 0
- nul aftrekken heeft geen effect: $x\; – 0 = x$
- aftrekken kan worden beschouwd als optellen: $x-y=x+(-y)$
Vermenigvuldigen ($\times$ of $\cdot$) van twee of meer getallen (factoren)
- de uitkomst heet het product
- de volgorde maakt geen verschil: $x \cdot y = y \cdot x $ (commutatieve eigenschap)
- plaatsing van haakjes maakt geen verschil: $x(yz) = (xy)z$ (associatieve eigenschap)
- met nul vermenigvuldigen levert nul: $x \cdot 0 = 0$
- met één vermenigvuldigen heeft geen effect: $x \cdot 1 = x$
Delen (: of deelstreep) van twee getallen
- de uitkomst heet het quotiënt
- de volgorde maakt verschil: 6/3 = 2 maar 3/6 = ½
- door nul delen mag niet
- door één delen heeft geen effect: x/1 = x
- delen kan worden beschouwd als vermenigvuldigen: $x/y = x \cdot \frac{1}{y}$.
Distributieve eigenschap (“haakjes wegwerken”)
De factor of noemer wordt toegepast op elke term in de optelling of aftrekking.
$$\begin{align}
a(x+y) & = ax + ay & a(x-y) & = ax \; – ay \\
(a+b)x & = ax + bx & (a\;-b)x &= ax \; – bx \\
\frac{a+b}{x} & = \frac{a}{x}+\frac{b}{x} & \text{maar}\ \frac{a}{x+y} & \neq \frac{a}{x} + \frac{a}{y}\ \ !
\end{align}$$
Als twee optellingen of aftrekkingen met elkaar vermigvuldigd worden:
$$(a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by$$
$$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \ \ \ \ \ (x \; -y)^2 = x^2 \; – 2xy + y^2$$
$$(x+y)\cdot (x\; -y) = x^2 \; – y^2$$
(In het laatste geval vallen twee termen $+xy\; -xy$ tegen elkaar weg.)
Voorbeeld: Klopt dit of niet?
$$\begin{align}
(70 + 2) + 9 & = 70 + (2 + 9) & & \text{ja} \\
180 \; – (50 \; – 7) & = 130 \; – 7 & & \text{nee} \\
15 \cdot (8 + x) & = 120 + x & & \text{nee} \\
6 \cdot (2 \; – a) & = 12 \; – 6a & & \text{ja} \\
6 \cdot (2 \cdot a) & = 12 \cdot 6a & & \text{nee} \\
\frac{8y + 12z} 2 & = 4y + 6z & & \text{ja} \\
\frac{9h \cdot 6k} 3 & = 3h \cdot 2k & & \text{nee}
\end{align}$$
Voorbeeld: Schrijf zonder haakjes:
$$\begin{align}
3(b \; -9) & = 3b \; – 27 \\
-8(c \; – 4) & = -8c + 32 \\
(a + 3) (a \; – 7) & = a^2 \; – 4a \; – 21 \\
(8 \; – 4x) (8 + 4x) & = 64 \; – 16 x^2 \\
(3s \; – 2t)^2 & = 9s^2 \; – 12st + 4t^2
\end{align}$$
Bekijk hieronder een paar voorbeelden met gesproken uitleg.
