Bij differentiëren bepaalt men het voorschrift van de afgeleide functie f'(x) aan de hand van het functievoorschrift voor f.
- Als een functie de som of het verschil is van functies, dan vertaalt dat onmiddellijk door naar de afgeleide. Hetzelfde geldt voor vermenigvuldiging met een constante factor. (Dit kan worden samengevat door te zeggen dat differentiëren een lineaire operatie is.)
$$f(x) = g(x) \pm h(x) \Rightarrow f'(x) = g'(x) + h'(x)$$ $$ f(x) = A \cdot g(x) \Rightarrow f'(x)= A \cdot g'(x).$$
- De productregel en de quotientregel zijn bewerkelijker:
$$f(x) = g(x_ \cdot h(x) \Rightarrow f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x).$$ $$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) – g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}$$
- De kettingregel beschrijft wat er gebeurt als de uitvoer van een functie h gebruikt wordt als invoer van een functie g.
$$f(x) = g(h(x)) \Rightarrow f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x).$$
Differentieer:
$f(x) = x^2 + \sin{x}$
De afgeleide van x2 is 2x. De afgeleide van sin x is cos x.
Dus is f'(x) = 2x + \cos{x}$
$f(x) = x^2 \cdot \sin {x}$
Gebruik de productregel met g(x) = x2, g’(x) = 2x, h(x) = sin x, h’(x) = cos x.
Men krijgt $f'(x) = g’](x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$
$\;\;\;\; = 2x \sin{x} + x^2 \cos {x}$
- $f(x) = \frac{x^2}{ \sin{x}} $
Gebruik de quotiëntregel.
$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) – g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2} = \frac{2x \sin{x} – x^2 \cos{x}}{\sin^2 x}$
- $f(x) = (\sin{x})^2$
Dit is een “ketting”: $f(x) = g(h(x))$ met $h(x) = \sin{x}$ en $g(u) = u^2$. Volgens de kettingregel nemen we eerst de afgeleide van g, en vermenigvuldigen die met de afgeleide van h.
$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = 2 \sin{x} \cdot \cos{x}$
$f(x) = \sin{(x^2)}$
Nu is de ketting precies omgekeerd:
$f'(x) = \cos{(x^2)} \cdot 2x$
$f'(x) = 2(x^3 – 5x + 1) \cdot (3x^2 -5).$
