34.2.3 Logaritmen

Logaritme lost de exponent in een machtvergelijking op: $x = ^b \log{a} \Rightarrow b^x = a$

  • gewone logaritme: b = 10, wordt niet geschreven: log x = 10log x
  • natuurlijke logaritme: b = e (≈ 2,718281828…), wordt geschreven als ln: ln x = elog x
  • logaritmen worden alleen van positieve getallen genomen, met positief grondtal

Voorbeelden

$$\begin{align}
{^5}\!\log 25 & = 2 && \text{want} & 5^2 & = 25 \\
{^3}\!\log \frac 1 3 & = \; -1 &&& 3^{-1} & = \frac 1 3 \\
{^2}\!\log 4\sqrt 2 & = 2\frac12 &&& 2^{2\frac 12} & = 4\sqrt 2 \\
{^n}\!\log \frac 1 {\sqrt[3] n} & = \; – \frac 1 3 &&& n^{-\frac 1 3} & = \frac 1 {\sqrt[3] n} \\
{^n}\!\log 1 & = 0 &&& n^0 & = 1 \\
\log 0{,}0001 & = \; -4 &&& 10^{-4} &= 0{,}0001 \\
\ln \sqrt e & = \frac 1 2 &&& e^{\frac 1 2} & = \sqrt e \\
\ln 2 & \approx 0{,}693 &&& e^{0{,}693} & \approx 2
\end{align}$$

Rekenregels:

  • logaritme van vermenigvuldiging en deling = optellen en aftrekken van log
  • logaritme van macht en wortel = vermenigvuldig en deel log met de exponent
    $${^b}\!\log{x^n} = n \cdot {^b}\!\log{x}; \ \ \ \ \ {^b}\!\log{\sqrt[n]{x}} = \frac{{^b}\!\log x}{n}$$
  • grondtal veranderen:
    $${^b}\!\log x = \frac{\log x}{\log b} = \frac{\ln x}{\ln b} = \frac{{^B}\!\log x}{{^B}\!\log b}.$$

Voorbeeld:

$$\log{\frac{3x\sqrt{y}}{z^4}} = \log{3} + \log{x} + \frac{1}{2}\log{y} \; – 4 \log{z} \ \ \ \text{(geldt voor elk grondtal)}.$$