34.3.3 Analyse van veeltermen

Een nulpunt van een veelterm is een x-waarde die de veelterm gelijk maakt aan nul. Als n een nulpunt is van een veelterm, is de veelterm opgaand deelbaar door xn; men kan dus een factor (x – n) uitdelen.

Voorbeeld: x = 7 is een nulpunt van de veelterm 2x3 – 10x2 – 28x, want

$$2 \cdot 7^3 \; – 10 \cdot 7^2 \; – 28 \cdot 7 = 686 \; – 490 \; – 196 = 0.$$

Er kan dus een factor x – 7 worden uitgedeeld:

$$\frac{2x^3 – 10x^2 – 28x}{x-7} = 2x^2 + 4x.$$

Elke veelterm kan op unieke manier worden ontbonden in factoren als

$$\text{veelterm} = A \cdot (x \; – n_1) \cdot(x \; – n_2) \cdot \cdots \cdot (x^2 + B_1 + C_1) \cdot \cdots,$$

waarbij

  • A een getal is,
  • de factoren (xn) de nulpunten beschrijven, en
  • de factoren (x2 + Bx + C) geen nulpunten hebben, i.e. B2 < 4C.

Het vinden van de nulpunten of een ontbinding van veeltermen in het algemeen is een beroemd lastig probleem in de wiskunde.

Voorbeeld:

$$2x^3 \; – 10x^2 \; – 28x = 2 \cdot (x \; -7) \cdot (x+2) \cdot x;$$

deze veelterm heeft dus x = 7, x = –2, en x = 0 als nulpunten.

Voorbeeld:

$$-x^3 \; – 4x^2 \; -5x +10 = (-1)\cdot(x \; -1) \cdot (x^2 + 5x + 10).$$

deze veelterm heeft alleen x = 1 als een nulpunt.